Questão 18 do Moysés - Curso de Física Básica -A integral, com limite inferior fixo e limite superior x variável

Questão 18 (Moyses) A integral, com limite inferior fixo e limite superior x variável, define uma função de x, dada por:

Mostre que dF/dx=f(x). Assim, a integral pode ser considerada como operação inversa da derivada. Sugestão: use a interpretação geométrica da integral.

Aprenda como resolver:

A questão proposta envolve a demonstração de que a derivada da integral definida de uma função $f(x)$ com limite inferior fixo e limite superior variável é igual à própria função $f(x)$. Vamos abordar essa demonstração em etapas, conforme sugerido no enunciado, utilizando a interpretação geométrica da integral e aplicando conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 01: A Interpretação Geométrica da Integral

A integral definida de uma função $f(x)$ em um intervalo $[a, x]$, onde $x$ é variável e $a$ é fixo, pode ser vista geometricamente como a área sob a curva da função $f(x)$ entre $a$ e $x$. Essa área pode ser aproximada usando uma soma de Riemann, que consiste em dividir o intervalo em pequenas faixas (retângulos) e somar as áreas dessas faixas.

• A soma de Riemann para o intervalo $[a, x]$ é dada por: $$R_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$ onde $x_i^*$ é um ponto arbitrário no subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$ e $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.

A soma de Riemann aproxima a área total $A$ sob a curva, à medida que o número de retângulos $n$ aumenta e a largura dos subintervalos $\Delta x_i$ tende a zero.

Passo 02: Definição da Integral

A integral definida de $f(x)$ no intervalo $[a, x]$ é o limite da soma de Riemann à medida que o número de subintervalos tende ao infinito e a largura dos subintervalos tende a zero. Esse limite, se $f(x)$ for uma função contínua, é a área sob a curva de $f(x)$ no intervalo $[a, x]$. A integral definida é dada por:

$$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

Passo 03: Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se $f$ é uma função contínua em $[a, b]$, então a integral definida $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ possui uma antiderivada, ou seja:

$$F'(x) = f(x)$$

Passo 04: A Derivada da Função $F(x)$

Agora, queremos provar que $\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$. A função $F(x)$ é definida como a integral de $f(x)$ com limite superior $x$. Para calcular a derivada de $F(x)$, vamos considerar a mudança em $F(x)$ ao mudar $x$ para $x + \Delta x$.

• A variação de $F(x)$ é dada por: $$F(x + \Delta x) - F(x) = \int_a^{x + \Delta x} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt$$
• Usando a propriedade da integral definida, podemos reescrever isso como: $$F(x + \Delta x) - F(x) = \int_x^{x + \Delta x} f(t) \, dt$$ Essa integral representa a área sob a curva $f(t)$ no intervalo $[x, x + \Delta x]$, e essa área é aproximadamente $f(x) \cdot \Delta x$ para $\Delta x$ pequeno.

Portanto, temos:

$$F(x + \Delta x) - F(x) \approx f(x) \cdot \Delta x$$

Passo 05: Cálculo da Derivada

Agora, ao dividir a variação de $F(x)$ por $\Delta x$ e fazer $\Delta x \to 0$, obtemos a derivada de $F(x)$:

$$\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} \to f(x)$$

Assim, a derivada de $F(x)$ é dada por:

$$F'(x) = f(x)$$

Conclusão

Portanto, mostramos que a derivada da função $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ é igual à própria função $f(x)$, ou seja:

$$\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)$$

Esse resultado é uma das formas de enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a relação entre a derivada e a integral como operações inversas.