Questão 18 do Moysés - Curso de Física Básica -A integral, com limite inferior fixo e limite superior x variável

Questão 18 (Moyses) A integral, com limite inferior fixo e limite superior x variável, define uma função de x, dada por:

Mostre que dF/dx=f(x). Assim, a integral pode ser considerada como operação inversa da derivada. Sugestão: use a interpretação geométrica da integral.

Resolvida! Questão 18 do Moysés do capítulo 02, volume 01

Passo 01 (Soma de Riemann) A interpretação geométrica da Integral é a área compreendida entre o eixo OX e o gráfico da função f(x’). Na figura 01, considere n faixas (retângulos) S1, S2, ..., Sn. Onde as faixas estão contidas no intervalo [a, b] o que significa que x0=a e xn=b=x.

Os números ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn não são necessariamente iguais. Somando as áreas das n faixas (retângulos), obtém-se:

Somando membro a membro, obtemos a soma da área dos n retângulos inscritos, que é representado Rn.

Ou seja, Rn é a soma de Riemann da função f(x). Essa soma é apenas uma aproximação da área A total da região S.

Assim, a soma da área dos n retângulos é uma boa aproximação para a área A da região S, que está sob a curva f(x) de a até x.

Passo 02 (Definição da área da região S) A área A da região S é o limite da soma da área dos n retângulos aproximados pela direita.Ouja

O limite da relação 02 sempre existe, uma vez que estamos supondo que f é uma função contínua.

Aproximados pela esquerda, podemos reescrever a relação 2 como o que aparece a seguir.

Em vez de aproximar pela direita ou esquerda, podemos utilizar a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número ci no i-ésimo subintervalo. Ou seja, existe um número arbitrário ci no intervalo [x{i-1}, xi] que fornece uma expressão mais geral para a área da região S:

Passo 03 (Definição de integral) Se f é integrável em [a, b], então, o limite na relação 04 existe e dá o mesmo valor. Ou seja:

A relação 05 é a definição geométrica da integral. Ela também pode ser escrita como

Além disso, como ∆x'i=(b-a)/n e n=(b-a)/∆x'i, então:

Desses resultados concluímos que máx ∆x'i→0 é equivalente a n tendendo ao infinito. Assim temos que as relações 05 e 06 são iguais. A figura 2 mostra a área do retângulo Ri, onde ci é um número arbitrário no intervalo [x{i-1}, xi ]

Passo 04 (Como encontrar o acréscimo da função F) Seja dois números x{i-1} e xi em um intervalo fechado [a, b]. Então:

Subtrai-se a segunda equação pela outra, membro a membro. Ou seja

Eliminando os termos semelhantes, obtemos

Como x'0=a e x'n=b, então F(x'0^)=F(a) e F(xn)=F(b). Isso significa que

Passo 5 (Teorema do valor médio) Pelo teorema do valor médio (TVM), vale a seguinte relação

Aplicando a somatória em ambos os lados, obtemos

Comparando as relações 07 e 08, obtemos

Como a derivada F’=f e ∆xi' = (x'i- x'{i-1}), então

Supondo uma função f continua em [a, b] e um ∆xi suficientemente pequeno, então, temos uma boa aproximação para o acréscimo da função F. Então, podemos reescrever a relação 09 como

Quando ∆xi tende a zero, a relação 11 fica mais aproximada. Então

Comparando as relações 06 e 12, obtemos

Assim fica provado o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, como b=x, então

Derivando ambos os membros da relação 14, obtemos

Isso também pode ser rescrito como

Como o limite inferior a é fixo, então a derivada de F’(a) é zero. Assim temos que

Isso significa que a integral definida F(x) possui uma antiderivada f. Ou seja

ASSUNTO RECOMENDADO: ESSA É A SEGUNDA FORMA DE PROVAR O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO